- Как на ладони

Как на ладони. Финансовая математика — файл n1.doc. Четыркин Е.М

Нетто-ставка (нетто-тариф) отражает
степень риска страховщика и выражается
либо в % от страховой суммы, либо в рублях
со 100 рублей страховой суммы. На размер
нетто-ставки влияют два фактора:

    вероятность наступления страхового
    случая по данному договору;

    ожидаемая тяжесть страхового случая,
    которая определяется отношением
    ожидаемой величины выплаты по страховому
    случаю к страховой сумме по договору.

Величина страховой суммы выбирается
страхователем. Верхним ее пределом
является стоимость страхуемого имущества.

Нетто-премия представляет собой основную
часть брутто-премии. Брутто-премию можно
представить как произведение страховой
суммы на страховой тариф или тарифную
ставку. Тарифная ставка, которая
определяет величину страхового взноса,
называется брутто-ставкой
и
представляет собой платеж со 100 рублей
страховой суммы или % ставку от страховой
суммы:

Страховая премия  Страховая сумма  Брутто-ставка100,

Брутто-ставка состоит из нетто-ставки
и нагрузки. Доля нагрузки в брутто-ставке
обозначается f
и
выражается в % или долях единицы. Общая
формула расчета брутто-ставки имеет
вид:

Брутто-ставка  Нетто-ставка1- f

Если доля
нагрузки выражена в %, то:

Брутто-ставка  Нетто-ставка1- f 100

Данная
формула для определения брутто-ставки
является общей для всех видов страхования.
Однако методы расчета входящей в эту
формулу нетто-ставки различаются по
видам страхования.

План практического занятия:

    Состав и структура тарифной ставки.

    Общие принципы расчета нетто — и брутто
    — ставки.

Вопросы,
обсуждаемые на практическом занятии:

    Цена страховой услуги и факторы, влияющие
    на ее величину.

    Структура страховой премии.

    Методология обоснования нетто – премии
    по риску. Уровень гарантии безопасности.

    Методические основы расчет брутто –
    ставки и брутто- премии.

Темы докладов (рефератов):

    Страховая услуга как специфический
    товар.

    Особенности страховой услуги.

    Найдите в гл.48 ГК РФ и Законе РФ «Об
    организации страхового дела в РФ»
    статьи, имеющие непосредственное
    отношение к определению страховой
    премии.

    Специфика государственного регулирования
    процесса формирования страховых тарифов
    по обязательным и добровольным видам
    страхования.

Литература: 3,
5, 6, 11.

Тема 3. Понятие финансовой устойчивости страховщиков

    Финансовая устойчивость страховщиков
    и факторы ее определяющие

Финансовая устойчивость страховой
компании как системы, адаптирующейся
к изменениям внешней среды, имеет два
признака: платежеспособность –
возможность расплачиваться по своим
обязательствам, и наличие финансового
потенциала для развития, чтобы
соответствовать возможным изменениям
внешних условий. В связи с этим, под
финансовой устойчивостью
страховой организации

понимается такое
состояние финансовых ресурсов организации,
при котором она в состоянии своевременно
и в предусмотренном объеме выполнять
взя­тые на себя текущие и будущие
финансовые обязательства перед всеми
субъектами за счет собственных и
привлеченных средств.

В соответствии со ст.25
Федераль­ного закона «Об организации
страхового дела в Российской Федерации»
основой финансовой устойчивости
страховщиков является:

    наличие у них оплаченного
    уставного капитала;

    страховые ре­зервы,
    достаточные для исполнения обязательств
    по договорам страхования, сострахования,
    перестрахования, взаимного страхования;

    система перестрахования.

Страховщики должны обладать полностью
оплаченным уставным капиталом, размер
которого должен быть не ниже установленного
п.3 ст. 25 Закона о страховании минимального
размера уставного капитала.

Страховые резервы страховщика должны
быть сформированы в установленном
порядке для обеспечения исполнения
обязательств по договорам страхования
и должны быть обеспечены активами,
соответствующими требованиям
диверсификации, ликвидности, возвратности
и доходности.

В целях поддержания устойчивости
страховщик может прибегнуть к
перестрахованию, то есть застраховать
полностью или частично риск выплаты
страхового возмещения или страховой
суммы у другого страховщика по заключенному
с ним договору перестрахования.

Финансовая устойчивость
страховой организации обеспечивается
за счет действия внешних и внутренних
факторов. Каждый фактор можно
охарактеризовать признаками,
представленными на рис. 1.

Факторы
обеспечения финансовой устойчивости

Внешние — неуправляемые

Внутренние

— управляемые

Состояние общественного
хозяйства,

экономики

Размер организации, ее
специализация

Государственное
регулирование

страховой деятельности

Развитость и устойчивость
клиентской

Состояние страхового
рынка

Организационная структура
управления

Конъюнктура страхового
рынка

Сбалансированность
страхового портфеля

Состояние рынка страховой

инфраструктуры

Состав и уровень страховых
резервов

Состояние фондового рынка

Тарифная политика

Платежеспособность
населения и т.д.

Перестраховочная политика

Инвестиционная политика

Управление расходами и
т.д.

Рис. 1. Факторы обеспечения
финансовой устойчивости страховой
деятельности

Особое значение приобретают,
прежде всего, внешние обстоятельст­ва,
которые организация не может изменить
и вынуждена к ним при­спосабливаться.
К числу внешних факторов относятся
общее состоя­ние национальной
экономики, государственное регулирование
стра­ховой деятельности, конъюнктура
страхового и фондового рынков,
платежеспособность и потребительские
предпочтения населения.

Внутренние факторы обеспечения
финансовой устойчивости ох­ватывают
управляемые параметры организации
страхования, вклю­чая характер
специализации страховой компании,
организационную структуру, сбалансированность
страхового портфеля, тарифную,
пе­рестраховочную и инвестиционную
политику и др. Внутренние воз­можности
должны использоваться таким образом,
чтобы эффектив­но противостоять
негативному влиянию и в полной мере
использовать благоприятные эффекты
внешних факторов.

Понятие финансовой
устойчивости в сфере страховой
деятельно­сти несколько отличается
от того же понятия, применимого к другим
секторам экономики. Кроме того,
существует ряд критериев, позволяющих
достоверно оценить степеньустойчивости
и платежеспособно­сти страховщика:

Наличие достаточного объема страховых
операций;

Наличие развитой практики
перестрахования;

Обеспечение сбалансированности
страхового портфеля;

Ограничение ответственности по
отдельным рискам;

Разумное размещение страховых
резервов;

Разумная тарифная политика;

Диверсификация деятельности.

На количественном уровне
оценить
устойчивость и платежеспо­собность
страховой компании позволяют следующие
показатели:

Размер уставного капитала;

Размер собственных средств;

Размер страховых резервов;

Соотношение активов и обязательств;

Выполнение
нормативов по размещению страховых
резервов;

рентабельность
страховых операций;

Показатели убыточности страховой
суммы.

    Доходы, расходы и прибыль страховщиков

Для определения налогооблагаемой
прибыли
классификация
доходов и расходов (затрат), их содержание,
регулируются главой 25 НК РФ (ст. 249-269,
293, 294).

В зависимости от источника
поступления выделяют три группы доходов
страховых организаций

(Рис. 2):

1) от осуществления страховой
деятельности;

2) от инвестиционной
деятельности;

3) прочие.

Доходы от осуществления
страховой деятельности:

    страховые премии по договорам
    страхования, сострахования и
    перестрахования;

    суммы уменьшения (возврата)
    страховых резервов, образо­ванных в
    предыдущие отчетные периоды, с учетом
    измене­ния доли перестраховщиков в
    страховых резервах;

    вознаграждения и тантьемы
    по договорам перестрахования;

    вознаграждения от страховщиков
    по договорам сострахо­вания;

    суммы возмещения
    перестраховщиками доли страховых
    выплат по рискам, переданным в
    перестрахование;

    суммы процентов на депо
    премий по рискам, принятым в
    пере­страхование;

    доходы от реализации
    имущества, перешедшего к страхов­щику,
    в соответствии с действующим
    законодательством пра­ва требования
    страхователя к лицам, ответственным
    за при­чиненный ущерб;

    суммы, полученные в виде
    санкций за неисполнение условий
    договоров страхования;

    вознаграждения за оказание
    услуг страхового агента, брокера;

    вознаграждения, полученные
    страховщиком за оказание услуг сюрвейера
    и аварийного комиссара;

    другие доходы, полученные
    при осуществлении страховой деятельности.

Рис. 2. Доходы страховых
организаций

Доходы от инвестиционной
деятельности
складываются
из про­центов по банковским вкладам,
дивидендов по акциям, доходов по цен­ным
бумагам, в результате операций с
недвижимостью и т.д.

Инвестиционный доход –
важный источник доходов для стра­ховых
организаций. Иногда он позволяет
перекрыть отрицательный ре­зультат
по страховым операциям.

Прочие доходы:

    от реализации основных
    фондов, материальных ценностей! и прочих
    активов;

    от сдачи имущества в аренду;

    от прочей не запрещенной
    законом деятельности, непосред­ственно
    не связанной с осуществлением страховой
    деятель­ности (оплата консультационных
    услуг, обучения) и др.

Соответственно классифицируют
и расходы. Расходы
страховой организации

при осуществлении
страховой деятельности:

    суммы отчислений в страховые
    резервы, формируемые на основании
    законодательства о страховании в
    порядке, уста­новленном федеральным
    органом исполнительной власти по
    надзору за страховой деятельностью;

    страховые выплаты по
    договорам страхования, сострахования
    и перестрахования;

    суммы страховых премий
    (взносов), переданных в перестра­хование;

    вознаграждения и тантьемы,
    выплаченные по договорам пере­страхования;

    суммы процентов, уплаченных
    на депо премий по рискам, переданным в
    перестрахование;

    вознаграждения за оказание
    услуг страхового агента и стра­хового
    брокера;

    расходы по оплате организациям
    или физическим лицам ока­занных ими
    услуг, связанных со страховой
    деятельностью;

    расходы на ведение дела;

    другие расходы, непосредственно
    связанные со страховой дея­тельностью.

В зависимости от целей управления
страховой организацией и со­ставления
бухгалтерской отчетности расходы
классифицируются по следующим признакам:

По
отношению к основной деятельности
(связанные со стра­ховыми операциями
или не связанные с ними);

По
времени осуществления (последовательности
финансиро­вания);

По
целевому назначению (содержанию
операций).

Финансовый результат

представляет собой
итог всей финансо­во-хозяйственной
деятельности предприятия в денежном
выражении.

В страховании финансовый
результат (прибыль, убыток) тради­ционно
определяется на основе сопоставления
доходов и расходов за определенный
период.

Конечный финансовый результат
деятельности страховых орга­низаций
— прибыль (убыток) П(У):

П(У) =
П(У) СД
+ П(У) ИД
+ П(У) ПрД,

где П(У) СД
— прибыль (убыток) от страховой
деятельности;

П(У) ИД
— прибыль (убыток) от инвестиционной
деятельности;

П(У) ПрД
— прибыль (убыток) от прочей деятельности.

Прибыль отчетного периода
страховой организации равна сумме
прибыли от страховой, инвестиционной
и прочей деятельности.

В страховании финансовый результат
может рассматриваться в двух аспектах:

Прибыль нормативная, или прибыль в
тарифах;

Прибыль как конечный финансовый
результат.

Нормативная прибыль
заложена в цене
страховой услуги при рас­чете тарифа.
Она представляет собой элемент нагрузки
к нетто-ставке тарифа. Это расчетная
прибыль страховщика, планируемая по
конкретному виду страхования.

Величина прибыли как конечного
финансового результата
деяте­льности
страховой организации зависит от многих
факторов. Их вли­яние оценивается в
результате анализа финансово-хозяйственной
де­ятельности. На прибыль страховщика
существенное воздействие оказывают
результаты его инвестиционной
деятельности.

При анализе работы страховой организации
часто используются относительные
показатели, характеризующие финансовые
результаты:

Рентабельность.
Рассчитывается в целом по страховой
компании, так и по отдельных видам
страхования на основе баланса как
отношение балансовой прибыли к уставному
капиталу или собственному капиталу,
либо как отношение прибыли от страховой
деятельности к сумме собранных страховых
премий.

Норматив
выплат по видам страхования
.
Сопоставляется норматив выплат,
заложенный в тариф, с фактическим
уровнем, определяемым как отношение
фактических выплат к собранным страховым
премиям.

Уровень
расходов
. Сравниваются расходы
страховой организации с объемом собранных
страховых платежей. Коэффициент
убыточности определяется отношением
страховых выплат и расходов на ведение
дела к сумме собранных платежей.

Общие принципы расчета нетто и брутто-ставки

Согласно теории риска, величина выплаты по конкретному договору страхования является случайной величиной. Следовательно, сумма выплат по всем договорам также будет являться случайной величиной. То есть она может принимать любое значение от нуля до максимально возможной величины выплат, равной совокупной страховой сумме по всем договорам.

Для обеспечения 100% гарантии страховых выплат, страховщик должен сформировать страховой фонд в размере совокупной страховой суммы. В этом случае нетто-премия по каждому договору будет равна страховой сумме. Таким образом, с учетом нагрузки страхователь должен будет заплатить больше, чем получит при наступлении страхового случая. Поэтому при расчете страховых премий страховщики вынуждены принимать гарантию безопасности меньше 100%. На практике ее величина находится в пределах от 85 до 99,9%.

Исходное неравенство для определения величины нетто-премий имеет вид:

вероятность {сумма выплат < величина страхового фонда} ³ g,

где γ — величина гарантии безопасности.

Величина нетто-премий определяется исходя из требуемого размера страхового фонда, который формируется за счет них.

Величина нетто-премий отражает тот риск, который представляет собой данный договор для страховщика. Количественно этот риск оценивается через вероятную величину выплаты, причем максимально возможная выплата, по определению, равна страховой сумме.

Ожидаемую величину выплаты, и, следовательно, нетто-премию можно выразить:

Нетто-премия = Страховая сумма * Нетто-ставка/100,

Нетто-ставка (нетто-тариф) отражает степень риска страховщика и выражается либо в % от страховой суммы, либо в рублях со 100 рублей страховой суммы. На размер нетто-ставки влияют два фактора:

Вероятность наступления страхового случая по данному договору;

Ожидаемая тяжесть страхового случая, которая определяется отношением ожидаемой величины выплаты по страховому случаю к страховой сумме по договору.

Величина страховой суммы выбирается страхователем. Верхним ее пределом является стоимость страхуемого имущества.

Нетто-премия представляет собой основную часть брутто-премии. Брутто-премию можно представить как произведение страховой суммы на страховой тариф или тарифную ставку. Тарифная ставка, которая определяет величину страхового взноса, называется брутто-ставкой
и представляет собой платеж со 100 рублей страховой суммы или % ставку от страховой суммы:

Страховая премия = Страховая сумма * Брутто-ставка/100,

Брутто-ставка состоит из нетто-ставки и нагрузки. Доля нагрузки в брутто-ставке обозначается f
и выражается в % или долях единицы. Общая формула расчета брутто-ставки имеет вид:

f

Если доля нагрузки выражена в %, то:

Брутто-ставка = Нетто-ставка/1- f *100

Данная формула для определения брутто-ставки является общей для всех видов страхования. Однако методы расчета входящей в эту формулу нетто-ставки различаются по видам страхования.

План практического занятия:

1. Состав и структура тарифной ставки.

2. Общие принципы расчета нетто — и брутто — ставки.

Вопросы, обсуждаемые на практическом занятии:

1. Цена страховой услуги и факторы, влияющие на ее величину.

2. Структура страховой премии.

3. Методология обоснования нетто – премии по риску. Уровень гарантии безопасности.

4. Методические основы расчет брутто – ставки и брутто- премии.

Вопрос 1. Виды страховых премий и особенности их расчета

Наименование параметра
Значение

Тема статьи:

Вопрос 1. Виды страховых премий и особенности их расчета
Рубрика (тематическая категория)
Финансы

Договор страхования представляет собой двустороннюю сделку, согласно которой страхователь уплачивает страховой взнос, а страховщик обязуется выплатить страховую сумму при наступлении указанных в договоре событий. Страховая премия — цена этой сделки, и с точки зрения определœения ее величины крайне важно подчеркнуть следующее: она уплачивается в начале договора страхования, а выплата страховой суммы, как правило, происходит через неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ время (если вообще имеет место). События, в случае наступления которых страховщик обещает выплатить страховую сумму, могут носить только случайный характер.

Величина премии должна быть достаточной, чтобы:

Покрыть ожидаемые претензии в течение страхового периода;

Создать страховые резервы;

Покрыть издержки страховой организации на ведение дел;

Обеспечить определœенный размер прибыли.

Ситуация, когда оплата услуги производится заранее, до ее предоставления, представляет собой обратный (ʼʼперевернутыйʼʼ) экономический цикл. Такой порядок действий имеет место в страховании. Обратный экономический цикл в страховании существенно затрудняет расчет страховых премий и служит причиной появления математических резервов.

Когда товар изготавливается на заказ и его оплата осуществляется заранее, то производитель может достаточно точно рассчитать себестоимость товара и установить цену, гарантирующую безубыточность подобной операции. Отклонения в себестоимости изделия могут произойти только в результате внезапного изменения цен на сырье и комплектующие. В стабильной экономике случаи резкого изменения цен встречаются не часто, а возможные небольшие отклонения можно учесть при формировании цены или при согласовании заказа. Вместе с тем, в подобных сделках оговаривается конкретное время, когда товар должен быть поставлен заказчику. Иными словами, степень неопределœенности относительно себестоимости товара и сроков доставки мала, и, следовательно, при расчете цены можно оперировать детерминированными величинами.

Совсœем другая ситуация складывается в страховании. Чтобы договор мог считаться договором страхования, крайне важно присутствие в нем элемента случайности. В результате страховщик в момент заключения договора, как правило, не знает, произойдет ли страховой случай по данному договору вообще, и если произойдет, то когда именно в течение срока страхования, и в каком размере наступит ущерб. Элемент случайности должен существовать как для страхователя, так и для страховщика.

Любые действия страхователя или страховщика, приводящие к исчезновению из договора страхования элемента случайности (сговор между страхователœем и страховщиком, действия страхователя, направленные на наступление страхового случая, и т.д.) противоречат основным принципам страхования.

При расчетах страховых премий следует исходить из предположения случайности факта наступления страхового случая и (или) величины ущерба и их независимости от воли страхователя и страховщика.

На практике в договоре страхования могут присутствовать следующие случайные факторы:

Возможность наступления страхового случая (рисковые виды страхования, срочное страхование на случай смерти);

Возможность невыполнения страхователями своих финансовых обязательств перед страховщиком;

момент наступления страхового случая (пожизненное страхование на случай смерти);

Величина ущерба (всœе виды страхования, носящие компенсационный характер).

В итоге страховщик в момент заключения договора страхования не знает ни реальной ʼʼсебестоимостиʼʼ услуги, ни точного момента ее предоставления. Степень неопределœенности очень велика, и добиться равновесной цены в пределах одной сделки невозможно. Необходимо иметь совокупность похожих договоров страхования. Только в данном случае при расчете премий можно использовать средние значения и достичь финансового равновесия в пределах всœей совокупности. Чем больше объём совокупности, тем точнее определяются условия финансового равновесия.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, при расчете премий крайне важно оценивать случайные явления количественно, что требует применения особых подходов, основанных на положениях теории вероятностей и математической статистики. Вместе с тем, в страховании жизни приходится использовать методы долгосрочных финансовых исчислений и элементы демографической статистики. Указанные особенности позволили выделить совокупность приемов и методов, используемых при вычислении страховых премий, в отдельную отрасль математики — теорию риска и теорию актуарных расчетов.

Исторически понятие ʼʼактуарные расчётыʼʼ использовалось только для определœения совокупности методов расчёта тарифов и резервов по страхованию жизни. При этом в последнее время термин всœе чаще распространяется и на расчёты по другим видам страхования.

Согласно теории риска величина выплаты по конкретному договору страхования представляет собой случайную величину. Следовательно, сумма выплат по всœем договорам также будет величиной случайной: она может принять любое значение из диапазона от нуля до максимально возможной суммы выплат, равной совокупной страховой сумме по всœем договорам. В случае если страховщик хочет обеспечить 100%-ную гарантию того, что сумма нетто-премий превысит сумму выплат, он должен сформировать страховой фонд в размере совокупной страховой суммы (в данном случае нетто-премия по каждому договору равна страховой сумме). В результате страхователь с учетом нагрузки должен был бы заплатить больше, чем может получить при наступлении страхового случая. Разумеется, такие условия неприемлемы, в связи с этим при расчете страховых премий страховщики вынуждены принимать гарантию безопасности меньше 100%, хотя и достаточно близкую к ней. На практике величина гарантии безопасности колеблется в пределах от 85 до 99,9%.

Исходное неравенство для определœения величины нетто-премий можно записать следующим образом:

Вероятность {Сумма выплат у,

где у — заданная страховщиком величина гарантии безопасности.

Сумма выплат представляет собой сумму отдельных случайных величин — выплат по договорам страхования. Возможность наступления страхового случая по одному договору не зависит, за редким исключением, от выплат по другим договорам. Иными словами, мы имеем дело с независимыми случайными величинами. Согласно центральной предельной теореме сумма большого числа независимых случайных величин при соблюдении определœенных условий распределœена по нормальному закону (распределœения Гаусса). На базе характеристик каждой случайной величины теория вероятностей позволяет оценить параметры распределœения их суммы. Зная закон распределœения и его параметры, можно решить исходное неравенство и найти необходимую величину страхового фонда. Величина нетто-премий определяется исходя из требуемого размера фонда.

Выплаты реализуются из страхового фонда, формируемого из нетто-премий. Следовательно, величина нетто-премий должна отражать риск, который представляет собой данный договор для страховщика. Количественно риск оценивается через вероятную величину выплаты (от нуля до максимально возможной выплаты по данному договору). Максимально возможная выплата по определœению равна страховой сумме.

В случае если по договору страхования предусмотрена ответственность страховщика на случай наступления разного рода событий, ᴛ.ᴇ. одновременно предоставляются несколько видов гарантий, то нетто-премия по такому договору будет определяться как сумма нетто-премий по всœем включенным видам гарантий.

Ожидаемую величину выплаты, а следовательно, и нетто-премию, можно выразить как произведение страховой суммы на коэффициент, отражающий степень риска страховщика. Он принято называть нетто-тарифом, или нетто-ставкой.

На размер нетто-ставки влияют:

Вероятность наступления страхового случая по данному договору;

Ожидаемая тяжесть страхового случая (ᴛ.ᴇ. отношение ожидаемой величины выплаты по страховому случаю к страховой сумме по данному договору).

Чаще всœего нетто-ставка выражается в процентах от страховой суммы либо в рублях со 100 руб. страховой суммы.

К примеру: Тп= 10 руб. со 100 руб. страховой суммы, В случае если страховая сумма = 100 000 руб., то следовательно: Рп = 10 х (100 000: 100) = 10 000 руб.

В случае если нетто-ставка выражена в процентах, то формулу для расчета нетто-премий можно записать следующим образом:

Части страховой премии, уплачиваемые поэтапно, называются страховыми взносами, в связи с этим часто страховую премию отождествляют со страховыми взносами, или страховыми платежами.

Величина страховой суммы, как правило, выбирается самим страхователœем. Ее естественным верхним ограничителœем является стоимость страхуемого имущества, и возможности влияния страховщика на данный фактор очень ограниченны.

Нетто-премия представляет собой основную часть брутто-премии. По аналогии с ней брутто-премию тоже удобно представлять как произведение страховой суммы на страховой тариф, или тарифную ставку. Тарифная ставка, определяющая величину всœего страхового взноса, принято называть брутто-ставкой
и представляет собой платеж со 100 руб. страховой суммы или процентную ставку от страховой суммы:

Брутто-ставка имеет ту же структуру, что и страховая премия. Она состоит из уже упомянутой нетто-ставки, которая определяет величину нетто-премии, и нагрузки, отражающей долю расходов страховщика в страховой премии:

Доля нагрузки в брутто-ставке выражается в процентах или долях единицы.

Общая формула для расчета брутто-ставки, в случае если нагрузка выражена в брутто-ставке, в долях:

В случае если доля нагрузки в брутто-ставке выражена в процентах, то соотношение примет вид

Данная формула для определœения брутто-ставки является общей для всœех видов страхования. При этом методы расчета входящей в нее нетто-ставки различаются по видам страхования.

Вопрос 1. Виды страховых премий и особенности их расчета — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Вопрос 1. Виды страховых премий и особенности их расчета» 2017, 2018.

Брутто-премия
, или страховой взнос, представляет собой размер страховых платежей по , уплачиваемый страхователем страховщику (страховой организации) за определенный период со всей страховой суммы. Брутто-премия зависит от величины страховой суммы, степени риска и периода, за который делается этот страховой взнос. Такой период по продолжительности может не совпадать с общим сроком страхования. Структура брутто-премии отражает экономический механизм страхования.

В ней можно выделить два элемента: нетто-премию,
предназначенную для страховых выплат по условиям договора страхования, и нагрузку
, предназначенную для покрытия расходов по ведению дела и получения прибыли от страховых операций (рис. 10.1). Заметим, что нетто-премия, рассчитанная на единицу страховой суммы, равную, как правило, 100 руб., имеет название «нетто-ставка».

Рис. 10.1. Структура брутто-премии

Соотношение нетто-премии и нагрузки в зависимости от вида и объема страхования, а также от уровня затрат на ведение дела может различаться. В настоящее время это соотношение меняется в сторону увеличения доли нагрузки до 15-20%, как принято в мировой практике. Данная тенденция обусловливается в основном увеличением структурного элемента нагрузки — комиссионного вознаграждения,
что говорит об усилении значения работы посредника в страховании (агента, брокера), и в большой степени соответствует мировой практике.

В общем случае нетто-премия может включать в себя следующие структурные элементы: рисковый взнос, рисковую (гарантийную, или стабилизационную) надбавку и накопительный (сберегательный) взнос (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Возможная структура нетто-премии

Рисковый взнос
предназначен для покрытия риска по всем , т.е. он используется для страховых выплат при наступлении страхового случая. В структуре нетто-премии он присутствует всегда.

Рисковая (гарантийная, или стабилизационная) надбавка
предназначена для компенсации возможного превышения фактических выплат над расчетными, учтенными в виде рискового взноса. В структуру нетто-премии эта надбавка может не включаться — все зависит от выбранной страховщиком стратегии управления. Если его цель — завоевать страховой рынок за счет цен более низких, чем у других страховщиков, то этот элемент (рисковая надбавка) не включается в структуру нетто-премии. Если же страховщик желает укрепить свою финансовую устойчивость, данный элемент включается в нетто-премию.

Накопительный (сберегательный) взнос
предназначен для накопления суммы, выплачиваемой по условиям долгосрочного договора страхования жизни — в случае дожития застрахованного до определенной даты (по риску дожития). Накопительный взнос должен инвестироваться в целях получения дохода. Он является структурным элементом нетто-премии долгосрочных договоров страхования жизни, например, при страховании на дожитие, смешанном страховании жизни, страховании пенсий (в данном случае используется российская классификация видов страхования).

Размер рискового взноса в нетто-премии зависит от страховой суммы и вероятности наступления страхового случая. Размер рисковой надбавки зависит от принятой вероятности превышения фактических выплат над расчетными. Чем меньше заданная вероятность превышения фактических выплат над расчетными, тем выше размер рисковой надбавки. Соотношение же между рисковым взносом и рисковой надбавкой для разных видов страхования может быть неодинаковым.

Размер накопительного взноса зависит от принятого правила денежного оборота (простого или сложного процента), размера страховой (накапливаемой) суммы, выплачиваемой по риску дожития, обещанной страхователю нормы дохода и срока действия договора (периода накопления). Для накопительного вида страхования соотношение рискового и накопительного взносов определяется условиями договора.

Включение рискового и накопительного взносов в структуру нетто-премии определяется видом страхования: условие рискового взноса практически включается во все виды страхования, так как предусматривает покрытие риска, а условие накопительного — только в долгосрочные договоры страхования жизни. Так, при краткосрочном страховании от несчастного случая и болезни, медицинском страховании или страховании на случай смерти, страховании имущества и ответственности (рисковые виды страхования) в структуру нетто-премии обязательно входит рисковый взнос, а в зависимости от выбранной стратегии управления компанией может входить или не входить рисковая надбавка.

При страховании пенсий (долгосрочный вид страхования жизни) в структуру нетто-премии включается накопительный взнос, который предназначен для платежей застрахованному лицу по риску дожития до определенной даты, например до даты очередной выплаты. Заметим, что для долгосрочных договоров страхования жизни, в которых предусматривается одновременно как покрытие риска (риска смерти и, может быть, риска несчастного случая), так и накопление средств на случай дожития. Так, для договоров смешанного страхования жизни необходимость во включении в нетто-премию рисковой надбавки отпадает, поскольку роль рисковой (гарантийной) надбавки выполняет накопительный взнос.

В табл. 10.1 представлены возможные варианты структуры брутто-премии для разных видов страхования.

Элементы нетто-премии: рисковый взнос, рисковая надбавка и накопительный взнос — служат источниками формирования специальных страховых фондов — страховых резервов, предназначенных для выплат по условиям договора страхования.

Таблица 10.1. Варианты структуры брутто-премии для разных видов страхования

Временная характеристика договора страхования

Вид договора страхования

Бругто-премия

Нетто-премия

Рисковый взнос

Рисковая надбавка

Накопительный взнос

Долгосрочные договоры страхования

Страхование жизни

Краткосрочные договоры страхования

Страхование от несчастных случаев и болезней

Медицинское страхование

Имущественное страхование

Страхование ответственности

Примечание: «+» означает обязательность включения в структуру брутто- премии; «±» означает, что данный элемент может быть включен или не включен в структуру брутто-премии.

Как уже отмечалось, нагрузка представляет собой часть брутто- премии, предназначенную для покрытия расходов по ведению дела и получения прибыли от страховых операций (рис. 10.3).

Первый структурный элемент нагрузки — затраты на ведение дела
— относится на себестоимость страховых услуг, второй элемент — прибыль от страховых операции —
это плановая прибыль страховой организации от таких операций.

Затраты на ведение дела делятся на традиционные
, которые характерны для любого вида бизнеса, и специфические
, осуществляемые именно в страховом деле. К специфическим видам затрат относятся комиссионные вознаграждения агентам и брокерам за посредническую деятельность в распространении страховых продуктов, расходы па проведение предупредительных (превентивных) мероприятий, затраты, связанные, например, с проведениемначальной экспертизы (при заключении договора), а также экспертизы, связанной с наступлением страхового случая, и т.п.

Рис. 10.3. Структура нагрузки

Опыт экономически развитых стран показывает, что доля расходов на проведение предупредительных мероприятий может составлять 4-6% брутто-премии, а доля комиссионных вознаграждений может доходить до 20% брутто-премии.

  • Лукашин Ю.П. Финансовая математика: Учебно-методический комплекс (Документ)
  • Задачи по финансовой математике (Лабораторная работа)
  • Учебное пособие — Е.В. Ширшов и др. Финансовая математика (Лекция)
  • Каменская Н.Ю. Краткосрочная и долгосрочная финансовая политика (УМК) (Документ)
  • Малыхин В.И. Финансовая математика (Документ)
  • n1.doc

    §17.1. Нетто-премии в личном страховании

    Страхование на дожитие.
    Для начала рассмотрим самый про­стой, но очень важный в методическом плане случай личного страхования —
    страхование на дожитие

    (pure endowment).

    Итак,
    человек в возрасте х
    лет договаривается со страховой организа­цией о том, что при достижении им, допустим, 60 лет он полу­чит S
    рублей. Для определения размера премии найдем матема­тическое ожидание суммы страховой выплаты, дисконтирован­ной на срок страхования, т.е. на 60 — х
    лет. Размер нетто-пре­мии данного вида страхования обозначим как п
    Е
    х
    .
    Для рассма­триваемого примера:

    60-А = во-хРх
    * v6 °~* * Ј

    Где м-хРх
    — вероятность лицу в возрасте х
    лет дожить до 60 лет, v 60 «* — дисконтный множитель по принятой ставке сложных процентов.

    В общем виде с использованием коммутационной функции D
    x

    получим

    A-A*»-*$-^»«S—^^-xJ-^S

    Влияние принятой процентной ставки здесь очевидно. Чем она выше, тем меньше страховая премия.

    ПРИМЕР
    17.1.
    Необходимо найти стоимость страхования на до­житие до 60 лет мужчины в возрасте 40 лет. Если расчет основы­вать на процентной ставке, равной 9%, то согласно (17.1) полу­чим 1

    1 Значения коммутационных чисел, приведенные в примерах, взяты из табл. 12 Приложения.

    D
    eo

    389,17

    20
    е
    *
    = IT»S
    = » c S = 0,13239 S.
    20 x Одо 2939,5

    Премия здесь составляет чуть больше 13% страховой суммы. Полученная величина представляет собой нетто-ставку страхова­ния на дожитие, т.е. ставку, определенную из условия эквивалент­ности обязательств страхователя и страховщика. Напомним, что она не учитывает расходов страховщика на ведение дела.

    Для того чтобы лучше понять смысл полученных результа­тов, предположим, что число застрахованных на дожитие в при­мере 17.1 равно 1000 человек, а страховая сумма равна 1 тыс. руб. Таким образом:

    Число застрахованных 1000

    Премия от одного застрахованного 132,39 руб.

    Общая сумма премии 132 390 руб.

    Сумма с процентами за 20 лет 741 968 руб.

    Количество лиц, доживших до 60 лет 742 (точно 741,968)

    Общая сумма выплат 742 000 тыс. руб.

    Как видим, наблюдается полная сбалансированность между взносами и выплатами, демонстрирующая соблюдение принци­па эквивалентности обязательств страхователей и страховщика (небольшая разница объясняется округлением числа доживших).

    Приведенный пример иллюстрирует действие принципа со-лидарной ответственности страхователей

    — важнейшего стра­
    хового
    принципа. Дело в том, что страхователь, доживший до 60 лет, часть денег получил за счет тех лиц, которые не дожили до обусловленного возраста (согласно таблице смертности та­ких окажется в среднем 258 человек из тысячи застрахованных). Если оговоренную сумму он обеспечивает самостоятельно, без солидарной ответственности всех участников, то ему необходи­мо было бы внести на сберегательный счет 178,43 руб., а не 132,39 руб.

    Страхование супружеской пары.
    Выше постановка задачи лич­ного страхования обсуждалась применительно к отдельному че­ловеку. Распространим теперь методику страхования на супру­жескую пару, при этом ограничимся страхованием на дожитие.

    Пусть речь идет о супружеской паре, имеющей возраст х
    и у
    лет. Страховым событием здесь является дожитие до возрастов х+яиу+й или дожитие одного из супругов до оговоренного

    возраста. В первом варианте нетто-премия в расчете на один рубль страховой суммы определяется как

    Лу
    = пРх
    * пРу
    * V я = -ТрЧ (17.2)

    и ху

    где п
    р
    х

    и п
    р
    у

    — вероятности прожить еще п
    лет для каждого из супругов, D
    YV

    — коммутационная функция (см.(16.14) и (16.15)).

    Во втором варианте страховая сумма выплачивается одному из супругов, например вдове, при условии, что она проживет до у
    + п
    лет. Получим следующую величину нетто-премии:

    Лу
    пР
    Х
    у
    * V» = ^» ~
    «^f 4 «» (,7 — 3)

    У ХУ

    где п
    р
    х
    ^
    — вероятность того, что супруг (заключивший договор в х
    лет, когда его супруге было у
    лет) не доживет до возраста х
    + п,
    а супруга, напротив, доживет до у
    + п
    лет (см. (16.7)).

    Величину я Яф можно рассчитать с помощью коммутацион­ных чисел. Обратимся к первой дроби в правой части равенст­ва (17.3). Умножим и разделим ее на v> Получим знакомое вы­ражение для нетто-премии на дожитие (17.1). Что касается вто­рой дроби, то для ее определения необходимы другие коммута­ционные числа (см. (16.14) и (16.15)).

    Вернемся к формуле (17.3). Умножим и разделим вторую дробь на v^yV
    1
    .
    После чего получим

    »

    Е

    4у~

    D

    D
    »


    У ху

    Искомая величина равна разности нетто-премий страхова­ния на дожитие супруги и страхования на дожитие супружеской пары.

    ПРИМЕР 17.2. Определим размер нетто-премии страхования на 5 лет на дожитие супругов. Для супружеской пары (х = 50, у = = 45 лет) находим следующие коммутационные числа при усло­вии, что процентная ставка равна 9% (первая строка — для муж­чин, вторая — для женщин):

    D*
    = 050 = 1124 » 8 ; D
    x+n
    = 0 55 = 673,1;

    351

    D y = 045=1991,9; D
    y
    +
    n
    = D

    so = 1268,8;
    (x + y)/2 = (50 + 45) / 2
    = 47,5.
    Отсюда
    °xy = D 50; 45 = 10 » 3 * 1124 > 8 * 1991 — 9:
    к

    1,09 475 = 134 799;
    *V„ = 0 55; я, = Ю- 3 ж 673,1 ж 1268,8 ,
    1,09 5+475 = 78 770.

    При страховании на дожитие супружеской пары получим
    Е

    т

    Е

    . 78770 ш

    rFxy
    5 С 50;45 134 799

    0,58435.
    При страховании на дожитие вдовы:
    1268,8 78 770


    Е

    , = *Ј=„,« = ! = 0,63698 — 0,58435
    0,05263.

    л с х|у 5 С 50|45 1991,9 134 799 » ,wus, ° u,JOW »

    §17.2. Страхование жизни

    Этот вид страхования (life insurance),
    называемый также стра­хованием на случай смерти, является наиболее распространен­ным. Страховая сумма, равная 5, выплачивается в случае смер­ти застрахованного. Допустим, страховой договор заключается в возрасте х
    лет. Если смерть наступит на первом году страхо­вания, а выплата страховых сумм наследникам производится в конце года наступления страхового события, то с учетом веро­ятности этого события современная величина выплаты (на мо­мент заключения контракта) составит q
    x
    (Sv);
    если страховой случай наступит во втором году, то аналогичная по содержанию величина равна 2
    Я
    Х
    (^)
    и Т -Д-

    Единовременную нетто-премию определим исходя из прин­ципа эквивалентности обязательств. Искомая величина равна современной стоимости страхового аннуитета или математиче­скому ожиданию суммы дисконтированных выплат. Поскольку необходимые значения вероятностей находятся на основе таб­лицы смертности как d
    x
    /l
    x

    (см. § 16.2), то искомая величина премии при условии, что страхование пожизненное, определя­ется как

    A=-rvS+
    -^-v 2 ^ + … + -7- v«-
    x
    S.

    Умножим и разделим каждое слагаемое на V
    х

    и используем коммутационную функцию D
    x
    .
    После чего получим

    A=S

    *x+
    + -^±i- v x+2 + + _% o>

    D„ D„ D

    X

    ~x **x **x

    Применив коммутационную функцию М
    х

    (см. (16.13)), окон­чательно имеем

    Л/
    A
    x
    —f&

    07.5)

    X

    Пожизненное страхование жизни встречается не так уж час­то. Обычно практикуют страхование на срок. Пусть этот срок равен п
    годам. Нетто-премия в этом случае составит

    Л/. ~~ А/„._

    л
    -r^
    s



    ПРИМЕР 17.3. Найдем величину премии в виде доли от страхо­вой суммы для сорокалетнего мужчины при пожизненном страхо­вании жизни:

    Мдо 431,4

    A ^^ = ^ s= -i^iJ s=0 — 14678S —

    Для варианта с ограничением срока страхования двадцатью годами получим:

    М 40~ М 60 431,4-134,7
    Их — «Л* — ~%^S
    iiiiJ -S = 0.10094S.

    Как видим, ограничение срока заметно снизило стоимость страхования.

    На практике часто премии выплачиваются в рассрочку. Пос­леднее равносильно замене разовой выплаты премии постоян­ной рентой. Пусть рассрочка осуществляется посредством пла­тежей пренумерандо в течение / лет. Условие равенства обяза­тельств сторон в страховании запишем следующим образом:

    М
    х

    М
    х+п

    где R
    — член страхового аннуитета (размер ежегодной премии), а^л
    — стоимость немедленного ограниченного страхового анну­итета (см. (16.22)).

    После несложных преобразований имеем

    A/ v ~~ Л/.
    *
    = s-N

    &

    (17J)

    ПРИМЕР
    17.4.
    Допустим, единовременный взнос в примере 17.3 (пожизненное страхование) заменяется на выплаты в рассрочку в течение 20 лет. В этом случае

    Чю 431,4
    R
    =
    -S =
    S = 0,01581 S.

    N
    A0″
    N
    60

    30376 » 3082

    Смешанное страхование. Нетрудно объединить страхование на дожитие и на случай смерти. Если страховое возмещение обоих рисков одинаково, то в расчете на один рубль страховой суммы получим следующую сумму единовременной нетто-пре-мии:

    А
    +
    Л
    ~
    п
    ~* 07-8)

    X

    Для рассрочки платежей в течение / лет получим

    D+
    М- М
    х+п
    *- N

    N

    s


    (> 7 -9)

    1У х n x+t

    §17.3. Пенсионное страхование. Виды пенсионных схем

    Проблема пенсионного обеспечения затронула в последнее десятилетие все развитые страны, что в значительной мере свя­зано с заметным старением населения. Не избежала этой проб­лемы и Россия. Свой вклад в ее решение вносят негосударст­венные пенсионные фонды (НПФ). Пенсионные фонды не но-

    вость для России. До 1917 г. подобного рода учреждения функ­ционировали в стране под названием пенсионные и эмериталь­ные кассы.

    С экономической точки зрения обеспечение пенсиями по старости на базе НПФ представляет собой своеобразный дол­госрочный инвестиционный процесс, на первом этапе кото­рого осуществляются вложения (взносы в фонд) и последова­тельное наращение средств за счет доходов от инвестиций свободных денежных средств, на втором — получение отдачи от накоплений в виде периодических пенсий. Особенности данного процесса определяются принятыми правилами, рег­ламентирующими взносы и выплаты пенсий (пенсионные схемы).

    В длительно действующих пенсионных фондах скаплива­ются громадные средства. Например, активы пенсионных фондов стран Европейского союза в 1993 г. составляли более 1,2 трлн долл.

    По условиям финансирования
    пенсионные схемы, практикуе­мые в России, подразделяются на:

    нефондируемые
    (предусматривается выплата пенсий из те­
    кущих поступлений); эти схемы не представляют большо­
    го интереса в отношении применения количественного
    финансового анализа;

    фондируемые,
    или накопительные,
    (для обеспечения вы­плат пенсий создаются целевые фонды);

    частично фондируемые
    (целевые фонды создаются не для
    всех участников; например, только для лиц, выходящих
    на пенсию).

    К фондируемым схемам относятся:

    • сберегательные
      (отличительные особенности: не учитыва­ются вероятности дожития каждого участника фонда, пре­дусматривается наследование накоплений, отсутствует со­лидарность участников в обеспечении выплат, оговарива­ется конкретный срок выплат); данный метод обеспече­ния старости представляет собой покупку индивидуаль­ной финансовой ренты;
    • страховые
      (солидарность участников, нет наследования накоплений, учитываются вероятности дожития застрахо­ванных);

    355

    смешанные сберегательно-страховые
    схемы (предусматри­
    вается последовательное использование двух схем, напри­
    мер, на этапе накопления применяется сберегательная
    схема, на этапе выплат пенсий — страховая).

    Страховые схемы различаются по охвату участников фонда:

    • индивидуальные схемы, в которых пенсии эквивалентны индивидуальным накоплениям для каждого участника,
    • групповые схемы, в которых пенсии и накопления экви­валентны для всех участников фонда «в массе».

    Сбалансированность взносов и выплат (иначе говоря, экви­валентность обязательств) — необходимое условие для нор­мального ведения дела и важный элемент гарантии выполнения обязательств НПФ по выплатам пенсий. В страховых схемах ба­ланс обеспечивается на основе применения страховых принци­пов, которые реализуются с помощью актуарных расчетов. В сберегательных схемах баланс достигается на основе теории верных финансовых рент.

    При применении любой из пенсионных схем с фондирова­нием сталкиваются с необходимостью решения двух задач. Пер­вая выступает в двух «сопряженных» вариантах: определение размера пенсии по величине установленных взносов либо рас­чет величины взносов по заданным размерам пенсии.

    Вторая задача заключается в расчете страховых резервов. В следующих параграфах главы обсуждаются обе задачи.

    §17.4. Расчет премий и пенсий. Сберегательные схемы

    В российских НПФ получили распространение как страхо­вые, так и сберегательные пенсионные схемы. В методических целях анализ удобнее начать с последних. В таких схемах пла­тежи (взносы и пенсии) не увязываются с вероятностями их вы­плат, поэтому нет необходимости применять таблицы смертно­сти и коммутационные числа, где аргументом является возраст. Строго говоря, здесь, по-видимому, нет оснований и для при­менения терминов «премия» и «пенсия». Однако для единооб­разия сохраним эти термины и в сберегательных схемах обеспе­чения старости.

    Для расчета премий, очевидно, следует применять формулы, определяющие современные стоимости рент, если премия вы-

    плачивается единовременным взносом, или размеры членов ог­раниченных, постоянных рент, если премии выплачиваются в рассрочку. Соответствующие методы были подробно обсужде­ны в гл. 5, поэтому ограничимся примером, в котором пенсия выплачивается в виде годовой, ограниченной ренты пренуме-рандо. Рассмотрим методы расчета суммы единовременного взноса и размеров последовательных взносов в фонд в течение ряда лет. Для записи формул примем следующие обозначения:

    R
    — годовая сумма пенсии, Е
    — размер единовременного взноса,

    А
    — сумма, накопленная на индивидуальном счете участни­ка фонда на начало выплат пенсии, х
    — возраст застрахованного в момент заключения договора, L
    — возраст выхода на пенсию, w
    — возраст в момент окончания действия контракта, п
    — срок накопления, п
    = L
    — х, / — срок выплат пенсии, / = w
    L.

    Как показано на рис. 17.1, общий срок делится на два пери­ода. В первом — в возрасте от л: до L
    лет — взнос в сумме Е
    (здесь и далее речь идет о «чистых» взносах, аналогах нетто-премии в страховых схемах) увеличится до величины А.
    Эта сумма обеспечивает оговоренные выплаты до возраста w
    во вто­ром периоде.

    Накопления

    Е

    х L w Возраст

    Рис 17.1

    ПРИМЕР
    17.5.
    Определим размеры премий, необходимые для обеспечения выплат страховой пенсии. Пенсионные выплаты, от­ложенные на 20 лет, должны производиться в размере 10 тыс. руб. в год, пренумерандо. Срок выплат f = 15 лет.

    Таким образом, выплаты представляют собой отложенную на 20 лет, ограниченную годовую финансовую ренту, член которой равен 10 тыс. руб. Очевидно, что единовременный взнос равен современной стоимости будущих выплат. Положим, что на взнос начисляются проценты по ставке / = 9%. Общая формула для рас­чета имеет вид

    Е

    = А

    х v
    n

    = R
    х

    a
    t;
    i
    x (1 + i)v
    n
    t

    где v
    — дисконтный множитель по ставке /, а
    п
    ;

    ,(1 + /) — коэффи­циент приведения постоянной ренты пренумерандо (см. § 5.3),

    4 = 10 000а 15; 9 х 1,09 = 10 000 х 8,060688 х 1,09 = 87 861 руб.,

    Е

    = 87 861 х 1,09-2° = 15 677 руб.

    Динамика пенсионных накоплений схематично показана на рис. 17.2.

    Накопления

    40 60 75 » Возраст

    Рис. 17.2

    Если страховой договор предусматривает рассрочку взносов (равными платежами) в течение m
    лет (п
    *
    л?), то необходимый размер ежегодного взноса пренумерандо легко получить на осно­ве следующего равенства:

    Rti
    . = Av
    n
    .

    п

    го; i

    *

    Как показано выше, Av
    n

    = 15 677,

    *10; 9 = а 10; 9 х = 6,41766 х 1,09 = 6,99525.

    Окончательно имеем

    *=^i^- = 2241 » 1py6 —

    Таким образом, имеется альтернатива — выплатить единовре­менно 15,7 тыс. руб. или ежегодно на протяжении 10 лет по 2,2 тыс. руб.

    Короткое замечание об учете инфляции. Безусловно этот фа­ктор должен быть учтен при определении размера пенсии вне зависимости от выбранной схемы. За рубежом обычно (при низких темпах инфляции) для этого увеличивают применяемую в расчетах процентную ставку на величину ожидаемого долго­срочного темпа инфляции. При большом темпе такой прием невозможен. Единственный разумный путь — периодическая корректировка пенсии с учетом реально полученного дохода от инвестирования накоплений.

    §17.5. Страховые пенсионные схемы

    Пенсионное страхование по существу представляет собой по­следовательно повторяемое страхование на дожитие. Пусть пен­сия выплачивается с 60 лет. Тогда стоимость страхования разо­вой выплаты пенсии, равной 5, определяется стоимостью стра­хования на дожитие до 60 лет (см. (17.1)). Аналогично можно последовательно определить стоимость страхования на дожитие и до других возрастов. В итоге стоимость страхования составит:

    {
    Е
    Х

    + 2
    Е
    Х

    + … + ^.^yEj

    где w
    — максимальный возраст, учитываемый в расчете.

    Проще, однако, воспользоваться страховыми аннуитетами, о которых речь шла в гл. 16.

    Необходимость в расчете нетто-тарифов (нетто-премий в ра-чете на 1 руб. установленной пенсии) возникает при использо­вании схемы, в которой за исходную принимается величина пенсии. Тариф может быть определен для единовременного взноса (покупка пенсии разовым платежом) или при условии, что премия выплачивается в рассрочку. Обсудим оба варианта, но только для пенсионных схем индивидуального страхования. Актуарные расчеты в групповом пенсионном страховании тре­буют более обширной информационной базы, расширенных таблиц смертности (где учитывается выход из состава группы участников в связи с увольнением и выходом на пенсию по ин­валидности).

    Единовременный взнос.
    Поскольку речь идет о разовом взно­се, то нетто-тариф, очевидно, равен стоимости аннуитета, соот­ветствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия — про­изведению нетто-тарифа на размер пенсии. Например, для го­довых пенсий пренумерандо имеем

    Е
    х
    =
    Rxa
    x
    =

    R-jt,



    (17.10)

    X

    Где а
    х

    — стоимость немедленного годового аннуитета пренуме­рандо (см. (16.18)), R
    — размер годовой пенсии.

    В свою очередь для отложенной на п
    лет пенсии получим

    ^-Лх^-Л-^*-, (17.11)

    Где
    х

    — стоимость отложенного годового аннуитета пренуме­рандо (см. (16.20)).

    Таким же способом получим суммы единовременных взно­сов и для других условий выплаты пенсий. Формулы для расче­та стоимости страховых аннуитетов приведены в табл. 16.3.

    ПРИМЕР 17.6. Необходимо определить единовременную нетто-премию, выплачиваемую при заключении страхового пенсионного контракта с мужчиной 40 лет. Размер годовой пенсии 1 тыс. руб., выплаты пренумерандо с 60 лет пожизненно. В этом случае име­ем отложенный, пожизненный аннуитет пренумерандо. Норматив доходности равен 9%. Для приведенных данных получим

    N 6 o 3082,2
    а



    ллосс
    20|*-55J

    1
    »
    04855
    »
    0ТК
    У
    да

    ^40 = 1 х 1.0*855 1,04855 тыс. руб.

    Если бы пенсия страховалась не пожизненно, а на срок 15 лет, то ее стоимость в момент выхода на пенсию составила (см. (16.22)):

    с

    л

    N

    eo


    N
    75
    3082,2 — 684,24

    5,0 = 1 * «6015! = Б = 389J7 = 6 » 16173 ТЫС * РУ 6 »

    В свою очередь для страхователя 40 лет получим (см. (16.24)):

    с

    л

    ^60 — ^75 3082,2 — 684,24
    ло „ с „

    Е 4о = 1 х 201*60:151 = —q

    = ^^ = 0,81577 тыс. руб.

    Заметим, что чем выше процентная ставка (норматив доход­ности), тем ниже тариф страхования и оно более привлекатель­но для клиента. Однако при этом повышается риск для страхов­щика — он обязан обеспечить указанный уровень доходности аккумулируемых средств.

    Нетрудно найти и стоимость сберегательно-страховой пен­сионной схемы. Пусть до пенсионного возраста применяется сберегательная схема, после — страховая. Если пенсия выпла­чивается с 60 лет, а единовременный взнос в х
    лет, то стоимость для пожизненной пенсии пренумерандо равна

    Е
    х
    = R

    х *

    ПРИМЕР 17.7. Вернемся к примеру 17.6 (вариант с выплатой пенсий в течение 15 лет).

    Стоимость смешанной пенсионной схемы в возрасте 40 лет составит

    Е 4о = 1 х «60:151 * v2
    °

    = 6,16173 х 1,09- 20 — 1,099 тыс.руб.

    Размеры единовременных взносов (выплаты пенсий в течение 15 лет) для трех вариантов пенсионных схем приведены в следу­ющей таблице.

    Таблица
    17.1
    Стоимости страхования по трем пенсионным схемам

    Страховая схема оказывается более дешевой по сравнению со сберегательной, смешанная схема занимает промежуточное мес­то по размеру единовременного взноса для сорокалетнего за­страхованного. Однако, нельзя забывать, что страховые схемы не предусматривают наследования остатков средств на счете участ­ника. Сберегательная схема, наоборот, предполагает это.

    Совместим три кривые, характеризующие динамику накопле­ния для трех видов пенсионных схем (см. рис. 17.3).

    361

    8061 j
    / 6162
    1438
    1099
    816 4
    W
    0 60
    75
    ^
    Возраст

    1
    Рис. 17.3

    Рассрочка взносов. В
    практике страхования премии часто вы­плачиваются в виде ряда последовательных платежей, иными словами, в рассрочку. При расчете нетто-тарифов с рассрочкой для описания взносов можно воспользоваться ограниченными (на период рассрочки) аннуитетами. С другой стороны, пенсии также представляют собой страховые аннуитеты. В силу экви­валентности финансовых обязательств обоих участников стои­мости соответствующих аннуитетов должны быть равны друг другу. Например, в случае, когда один аннуитет (взносы) явля­ется немедленным, ограниченным, второй (Пенсии) — пожиз­ненным, отсроченным, причем оба предусматривают ежегод­ные платежи постнумерандо, получим следующее равенство:

    Pa
    x.t]
    = R
    n
    a
    *

    (17.12)

    Где Р
    — годовая сумма взносов (нетто-премии), R
    — годовая сумма пенсии.

    D _ r

    n

    a

    x


    _ D
    «x+n+ N
    x+{

    /Vjc+z+i

    а х-А

    N.


    = R

    ^Yjc+1 Wjc+/+I

    Например, если первая выплата пенсии производится, допу­стим, в 60 лет
    + п
    + 1 = 60), возраст при заключении стра­хового контракта 40 лет, а рассрочка равна 10 годам, то

    УУ 60

    p

    R
    N

    _ N


    Выражения, аналогичные (17.12), могут уравнивать стоимо­сти различных видов аннуитета. Например, если оба аннуитета предусматривают годовые выплаты пренумерандо, то вместо (17.12) получим

    П *x:t]

    „a* N,

    p=R
    f~
    =

    R
    Y^lT-

    (,7И)

    a x:t] 1У х 1У хН

    ПРИМЕР
    17.8.
    Определим размер премии для следующих усло­вий. Сорокалетний мужчина вносит премию в течение 5 лет, пен­сия годовая, пожизненная, в размере 10 тыс. руб. Оба потока платежей (премии и выплаты) пренумерандо. В этом случае на основе (17.14) получим

    Чем больше период рассрочки, тем, очевидно, меньше сумма взноса. Так, при рассрочке в 10 лет получим для тех же условий

    Р
    = 10 000 х —=77- = 10 000 х ~-

    n

    ao»

    n

    so

    30375,6 — 10465,3

    1548,0 руб.

    Расчет размера пенсии по сумме взносов.
    Пусть на счет застра­хованного ежегодно поступают взносы. Эти взносы, разумеет­ся, должны быть «очищены» от нагрузки, которая поступает в пользу страховой организации. Очевидно, что каждый взнос обеспечивает некоторую сумму пенсии. Для начала положим, что пенсия обеспечивается единовременным взносом Е.
    Тогда из соотношений типа Е
    = Ra
    x

    находим размеры пенсий R.
    Так, для немедленной пенсии пренумерандо имеем R
    = Е/а
    х
    ,
    для от­ложенной пенсии R
    = Е/
    п
    а
    х

    и т.д.

    Пусть теперь постоянная премия выплачивается в рассрочку в течение / лет, причем взносы одинаковы. Размер пенсии без корректировки на инфляцию определяется элементарно — дос­таточно решить уравнение (17.12) или аналогичные выражения относительно R.
    Например, для отложенной годовой пенсии пренумерандо с ограниченным периодом взносов получим

    R= Р

    a x:t


    Перейдем теперь к ситуации, когда взносы производятся по­следовательно в течение некоторого срока и изменяются по времени. Первый взнос Р
    {

    можно рассматривать как единовре­менную премию, обеспечивающую пенсию в сумме Л, и т.д. Пусть взносы и пенсии выплачиваются в начале года. Пенсия выплачивается с 60 лет. Тогда для каждого взноса можно напи­сать равенство
    °«fi

    «,

    *y*Vi
    р,

    40
    2939,5
    150
    440 925
    143,05
    41
    2677,7
    200
    535 540
    174,75
    42
    2437,7
    400
    975 080
    316,36
    43
    2217.8
    300
    665 340
    215,86
    44
    2016,6
    800
    1 613 280
    523,42
    Итого
    4 230 165
    1372,45

    364