- Как на ладони

Как на ладони. В двух комбинатах работает 1000 человек.

Задачи на оптимальный выбор
1. В 1­е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум
классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом
пределения
посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно
быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
23. После рас

2. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно
распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их
суточная зарплата составляет 4t2 у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их
суточная зарплата составляет t2у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду
рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е.
в этом случае придется заплатить рабочим?
3. Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к пе­
рекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от
перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. через сколь­
ко минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние.
4. Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома сле­
дом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка
догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при
котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?
5. В бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 30 м3 воды в час. Вторая труба наливает в час на
3V м3 меньше, чем первая (0 < V < 10), а третья труба наливает в час на 10V м3 больше первой. Сначала первая и
вторая трубы, работая вместе, наливают 30% бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают
оставшиеся 0,7 бассейна. При каком значении V бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?
6. Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки
первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта – по 30 руб., третьего сорта – по 20 руб. за килограмм.
Выручка от продажи всех яблок составила 2170 руб. Известно, что масса яблок 2­го сорта меньше массы яблок
3­го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1­го сорта меньше массы яблок 2­го
сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?
7. Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на
баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А. Вес и
стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн.
руб.соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров,
перевозимых баржей при данных условиях.
8. Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одина­
ковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t3часов в
неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе,
трудятся суммарно t3 часов в неделю, они производят t приборов.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо,
чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу
заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
9. Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же
сумму положил на два года в другой банк под 15% годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада
еще на 2 года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла
уже p% годовых. В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта
разность составила менее 10% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное
целое значение процентной ставки.
10. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать

картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом
поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000

11. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче

день требуется у2 человеко­часов труда.

заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
12. На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за
смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t2 человеко­
смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна
1 деталь А и 3 детали В. При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно
было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за
смену?
13. В 1­е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в
одном должно получиться 22 человека, а в другом
пределения посчитали процент мальчиков в
каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная
сумма была наибольшей?
21. После рас

14. Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами
начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также про­
изводственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только
данным видом продукта.

Вид начинки
Себестоимость
(за 1 тонну)
Отпускная цена
(за 1 тонну)
Производственные
возможности
ягоды
творог
70 тыс. руб.
100 тыс. руб.
90 (тонн в мес.)
100 тыс. руб.
135 тыс. руб.
75 (тонн в мес.)

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждо­
го вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос
(реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от про­
изводства блинчиков за 1 месяц.
15. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной и жестяной. Произ­
водственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80
центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми
сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены
себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Вид тары
стеклянная
жестяная
Себестоимость,
1 ц.
Отпускная цена,
1 ц.
1500 руб.
1100 руб.
2100 руб.
1750 руб.

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально воз­
можную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продук­
ции и её себестоимостью).
16. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при
объёме t2 Гбайт входящей в него информации выходит 20t Гбайт, а с сервера №2 при объёме t2 Гбайт входящей в
него информации выходит
Гбайт обработанной информации; 25 < t < 55. Каков наибольший общий объём вы­
ходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?
17. Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одина­
ковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммар­
но t2 часов в неделю, то за эту неделю они производт t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на
заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.

Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество
единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
18. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно оди­
наковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то
за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, тру­
дятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.
Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количе­
ство единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
19. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5×2 + x + 7 млн рублей в год. При цене p тыс.

наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?
20. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5×2 + 2x + 5 млн рублей в год. При цене p тыс.
рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px − q. При каком
наименьшем значении p через четыре года суммарная прибыль составит не менее 52 млн рублей?
21. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на
таком заводе равны
млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за
единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит
. Когда завод будет
построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком
наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
22. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать
картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность
картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом
поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.
Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за
центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
23. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные но­
мера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, кото­
рую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту пло­
щадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки,
а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём
отеле предприниматель?
24. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные но­
мера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, кото­
рую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту
площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в
стуки, а номер «люкс» — 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на
своем отеле предприниматель?
25. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых
готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во вто­
рой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за
час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

26. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых
готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во вто­
рой шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за
час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алю­
миния и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между
собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько кило­
граммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

27. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче
алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во
человеко­часов труда, а для добычи y кг никеля в
день требуется
человеко­часов труда.

собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько кило­
граммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
28. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче
алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во
второй области для добычи х кг алюминия в день требуется
человеко­часов труда, а для добычи у кг никеля в
день требуется
человеко­часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алю­
миния и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между
собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько кило­
граммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
29. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добы­
че алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во
второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко­часов труда, а для добычи у кг никеля в

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алю­
миния и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между
собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько кило­
граммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
30. В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на
добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля.
Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко­часов труда, а для добычи у кг никеля
в день требуется y2 человеко­часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно

промышленности?
31. Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн.руб. Вася может купить ее в кредит, при

платежами, при этом ему придется выплатить сумму, на 180% превышающую исходную. Вместо этого, Вася
может какое­то время снимать квартиру (стоимость аренды
кладывая каждый месяц
на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после упла­
ты арендной платы за съемную квартиру. За какое время в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если

15 тыс. руб. в месяц), от

32. Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 2 млн руб. Вася может купить ее в кредит, при
этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Васе придется 20 лет равными ежемесячными
платежами, при этом ему придется выплатить сумму, на 260% превышающую исходную. Вместо этого, Вася
может какое­то время снимать квартиру (стоимость аренды – 14 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на
покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты
арендной платы за съемную квартиру. За сколько месяцев в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если
считать, что стоимость ее не изменится?
33. Некто в 2016 году взял в банке кредит в 6,6 млн рублей под процент, который начисляется один раз в
год в середине года. В 2017, 2018 и 2019 году, в начале года, он вносил равные суммы так, что после начисления
процента на оставшуюся сумму в июле, долг на конец года был равен 6,6 млн. рублей. Затем, в 2020 и 2021 году,
остаток долга выплачивался равными суммами так, что кредит был закрыт в 2021 году. Каков был процент по
кредиту, если за весь период кредитования было выплачено 12,6 млн. рублей?
34. В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче
алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во

день требуется y2 человеко­часов труда.
Для нужд промышленности можно использоваться или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия
можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для
нужд промышленности?

35. В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче
алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во
второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко­часов труда, а для добычи y кг никеля в
день требуется y2 человеко­часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно
заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд
промышленности?
36. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать
картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность
картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом
поле составляет 200 ц/га, а на втором — 300 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 13 000
руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
37. Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (т. е. к
концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого
года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25%
годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
38. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят
тыс. рублей в конце
В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги
года
раз.
на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в
Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма
на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце
двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

39. Фермер в октябре продавал картофель в два раза дешевле, чем в марте. При этом выручка
от продажи картофеля в октябре оказалась на 53% ниже по сравнению с мартом. Определите, на
сколько процентов меньше картофеля продал фермер в октябре, чем в марте?
40. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет
погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще
через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину
полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
41. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно,
выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за
три дня?

Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Видеоразборы и подборка экономических задач на банковские проценты и оптимизацию.

Видеоразборы задач

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1; 2; ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в $(1 + r)$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.

15-го января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей

Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.

Подборка задач

  1. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
  2. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
  3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:

    − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
    − в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
    Найдите наибольшее значение $S$, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей. (ЕГЭ-2016)

  4. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
    − каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
    − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
    − в июле 2017,2018 и 2019 долг остается равным $S$ тыс. рублей;
    − выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;
    − к июлю 2021 долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат за пять лет. (ЕГЭ-2016)
  5. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $х$ млн. рублей, где $х$ — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
  6. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $х$ млн рублей, где $х$ — целое число. Найдите наибольшее значение $х$, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
  7. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей, где $S$ — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы
    − каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
    − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
    − в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
    Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей. (ЕГЭ-2016)
  8. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $2t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $5t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих? (ЕГЭ-2015)
  9. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах? (ЕГЭ-2015)
  10. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
    — 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на $r$% по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
    Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$. (ЕГЭ-2015)
  11. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
  12. Cергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?
  13. Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?
  14. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк $dfrac{3}{4}$ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
  15. Игорь купил акцию за 8 000. В конце каждого года стоимость акции увеличивается на 1 000. В любой момент Игорь может продать акцию и положить все деньги в банк на счет. В конце каждого года сумма на счету в банке увеличивается на 8%. В течении какого года Игорю нужно положить деньги в банк, чтобы через 25 лет после покупки акции сумма на счету в банке была максимальна?
  16. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 21 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».
  17. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начисления процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый года. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей.
  18. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
  19. Ювелирному мастеру поступил на обработку алмаз с дефектом. Этот дефект можно устранить, разделив алмаз на три части, суммарный вес которых после огранки составит 50 карат. При этом вес меньшего из полученных бриллиантов будет не меньше 5 карат, а вес большего из них — не более 30 карат (возможность равенства бриллиантов по весу на исключается). Известно, что стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Какой вес должен придать мастер каждому из трех бриллиантов, чтобы их суммарная стоимость была максимальной?
  20. Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется 5 часов работы станка А и 3 часа работы станка В, а для изготовления изделия второго типа требуется 2 часа работы станка А и 4 часа работы станка В (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок А может работать не более 150 часов в месяц, станок В — не более 132 часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 300 денежных единиц прибыли, а каждое изделие второго типа — 200 денежных единиц прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.
  21. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.
  22. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
  23. Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
  24. Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
  25. 31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
  26. Зависимость объема $Q$ (в шт) купленного у фирмы товара от цены $Р$ (в руб. за шт.) выражается формулой $Q=15000-P$, $1000leqslant Pleqslant 15000$. Доход от продажи товара составляет $PQ$ рублей. Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q+5000000$ рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?
  27. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5х^2+2x+6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px — (0,5x^2+2x+6)$. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
  28. В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно за сутки для нужд промышленности?
  29. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
  30. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?
  31. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
  32. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
  33. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
  34. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется $у^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
  35. На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется $t^2$ человеко-смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?
  36. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
  37. Производство x тыс. единиц продукции обходится в $q = 0,5x^2 + x + 7$ млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет $px — q$. При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?
  38. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме $t^2$ Гбайт входящей в него информации выходит $20t$ Гбайт, а с сервера №2 при объёме $t^2$ Гбайт входящей в него информации выходит $21t$ Гбайт обработанной информации; $25 < t < 55$. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?

На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за смену 3 детали А
или 1 деталь В
. На втором заводе для изготовления t
деталей (и А
, и В
) требуется t
2 человеко-смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна 1 деталь А
и 3 детали В
. При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Решение.

Начнём решение с анализа фразы: «на втором заводе для изготовления t
деталей (и А
, и В
) требуется человеко-смен». Из этого условия следует, что работающие на заводе 100 человек за смену смогут произвести максимум 10 деталей.

Пусть на первом комбинате х
А
, а остальные 100 − х
рабочих производят детали типа В
, и пусть на втором комбинате из 10 деталей производится y
деталей типа А
и 10 − y
деталей типа В

Деталь A
Деталь B
Количество
человек
Количество
деталей
Количество
человек
Количество
деталей
Первый комбинат
Второй комбинат
Всего

B
A
:

Пусть s
шт. — количество изделий, оно равно количеству деталей типа А

s
соответствует наибольшее значение при неотрицательных целых значениях y
, не больших 10.

Функция − убывающая. Наибольшее значение на отрезке она принимает при , при этом , а

Таким образом, максимальное количество изделий за смену будет собрано, если на втором заводе будут изготавливать только детали типа В
(100 рабочих изготовят 10 деталей типа В
), а на первом заводе 11 человек изготовят 33 детали типа А
, а остальные 89 рабочих изготовят 89 деталей типа В
. Итого получим 33 детали типа А
и 99 деталей типа В
, на производстве которых были заняты все 200 человек.

Значит, комбинат сможет собрать за смену 33 изделия.

Ответ:
33 изделия.

Замечание.

Вначале мы прочли условие иначе и полагали, что на втором заводе для изготовления t
деталей каждого типа (и А
, и В
независимо друг от друга) требуется t
2 человеко-смен. Приведём решение и примечания к нему для такого понимания условия. К этому же пониманию условия относятся комментарии читателей.

Пусть на первом комбинате х
рабочих, а на втором комбинате y
рабочих заняты на производстве детали А
. Внесем данные из условия в таблицу.

Деталь A
Деталь B
Количество
человек
Количество
деталей
Количество
человек
Количество
деталей
Первый комбинат
Второй комбинат
Всего

Для производства изделий деталей типа B
должно быть в три раза больше деталей типа A
:

Пусть s
шт — количество изделий, оно равно количеству деталей типа А
: Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s
соответствует наибольшее значение при натуральных значениях y
не больших 100. Имеем:

Найдем нули производной:

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области, равным при этом Количество деталей должно быть натуральным числом, поэтому рабочие могут произвести, самое большее, 33 детали типа А
.

Из (*) находим чел. Это означает, что 10 рабочиx первого комбината и 10 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве детали А
, за сутки они произведут их 33 шт, оставшиеся 90 рабочих первого комбината и 90 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве деталей В
, за сутки они произведут их 99 шт.

Ответ:
33 изделия.

Примечание 1.

Внимательный читатель мог бы задать вопрос о том, почему в равенстве (*) предполагается, что деталей производится ровно в отношении 1:3. Ведь можно произвести, например, 11 деталей типа B
и 34 детали типа А
, из них получится собрать 33 изделия, а одна деталь типа А
останется лишней. Ответим на этот вопрос.

Если есть лишние детали, то уменьшим их число до соотношения 1:3 и отправим на обед людей, производивших лишние детали. Тогда получим решение задачи для меньшего числа людей, но с тем же выходом продукта и соотношением деталей 1:3. Теперь вернём людей с обеда. Меньшего количества изделий мы не получим, поскольку зависимость между числом деталей и количеством людей неубывающая. Большего количества изделий тоже не достичь, поскольку из лишних деталей целого изделия собрать не получится. Поэтому наибольшее количество изделий совпадет с найденным.

Примечание 2.

Заметим, что если рабочие второго комбината будут производить только детали типа В
, то они произведут их 10 шт. Пусть при этом 89 рабочих первого комбината произведут 89 деталей типа В
, а оставшиеся 11 рабочих первого комбината произведут 33 детали типа А
. Тогда всего будет произведено 33 детали типа А
и 99 деталей типа В
. Из них также можно собрать 33 изделия. Таких вариантов довольно много (см. таблицу в конце).

Примечание 3.

Можно было бы спросить, почему не образовать из рабочих второго завода 100 независимых групп, каждая из которых состоит из одного рабочего.

Приведём решение Евгения Обухова.

Пусть первый завод выпускает x
деталей В
, а второй завод выпускает y
деталей В
. Тогда на первом заводе деталь В
выпускает x
рабочих, а деталь А
выпускает рабочих. Поэтому первый завод выпускает деталей А
.

На втором заводе деталь В
выпускает рабочих, деталь А
выпускает рабочих. Поэтому второй завод выпускает деталей A. Здесь — целая часть числа.

Пусть комбинат выпускает k
изделий. Имеем следующие необходимые и достаточные условия:

Рассмотрим Тогда получим:

Домножим второе неравенство на 3 и сложим с первым, получим: Заметим, что (при ) удовлетворяют исходному неравенству. То есть комбинат может изготовить 33 изделия.

Проверим, может ли он изготовить больше. Пусть , тогда:

Следовательно, максимальное число изделий, которое может произвести комбинат, равно 33.

Приведём таблицу других вариантов, также дающих 33 изделия

Источник задания: Решение 3852. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Задание
17.

На
каждом из двух комбинатов работает по 100 человек. На первом комбинате один
рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором комбинате
для изготовления t деталей (и А, и
В) требуется t^2 человеко-смен.

Оба
эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для
изготовления которого нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом комбинаты
договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать
наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать
комбинат за смену?

Решение.

Для
изготовления изделия нужна 1 деталь А и 3 детали В. На втором комбинате число
рабочих должно распределяться так, чтобы из их числа извлекался квадратный корень
(так как за смену должно изготавливаться целое число деталей). Из 100 человек
квадратный корень можно извлечь при следующих распределениях рабочих на две
группы:

(на деталь А)

(на деталь В)

То
есть на втором комбинате будет изготавливаться за смену деталей А и деталей В.

На
первом комбинате рабочие должны быть распределены так, чтобы они изготавливали
деталей B в 3 раза
больше, чем деталей А с учетом производства этих же деталей на втором
комбинате. Пусть x рабочих изготавливают деталь А на первом
комбинате, тогда 100-x рабочих будут
изготавливать деталь В. Так как за смену один рабочий изготавливает за смену 3
детали А или 1 деталь В, то можно записать следующее отношение:

,

Новые экономические задачи

в ЕГЭ – 2016 года

(задача 17)

Собрала

учитель математики

МКОУ СОШ №10

Комарова Галина Петровна

Юца 2015

1.
В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ:
5 400 кг сплава сможет произвести завод ежедневно.

2.
Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Ответ:
104 500 рублей в сутки сможет заработать предприниматель на своем отеле.

3.
В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х
х
2

человеко-часов труда, а для добычи у
кг никеля в день требуется у
2
человеко-часов труда.

1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ:
90 кг сплава сможет произвести завод за сутки.

4.
Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Ответ:
86 000 рублей сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель.

5.
В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х
кг алюминия в день требуется х
2

человеко-часов, а для добычи у
кг никеля в день требуется у
2
человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Ответ:
165 кг металлов можно добыть в двух областях.

6.
У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет — 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свеклу — по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ:
69 000 000 рублей может получить фермер.

7
. В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х
кг алюминия в день требуется х
2
человеко-часов, а для добычи у
кг никеля в день требуется у
2
человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности.

Ответ:
300 кг металлов можно добыть в двух областях.

8.
У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором – 300ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет — 300 ц/га, а на втором – 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 5 000 руб. за центнер, а свеклу — по цене 6 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ:
44 000 рублей может получить фермер.

9.
В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х
кг алюминия в день требуется х
2

человеко-часов, а для добычи у
кг никеля в день требуется у
2
человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на

2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ:
240 кг металлов можно добыть в двух областях.

10
. На каждом из двух комбинатов работает по 1 800 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 1 детали А или 2 деталь В. На втором комбинате для изготовления
t


t

2

человеко-смен.

Ответ:
1860 изделий

11
. На каждом из двух комбинатов работает по 200 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 1 детали А или 3 деталь В. На втором комбинате для изготовления
t


деталей (и А, и В) требуется t

2

человеко-смен.

Обе эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь А и 1 детали В.

При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях сможет собрать комбинат за смену?

Ответ:
220 изделий.

12
. На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 40 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 детали А или 5 деталей В. На втором комбинате работает 160 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А и 15 деталей В.

При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях сможет собрать комбинат за смену?

Ответ:
1800 изделий.

13
. На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 40 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 детали А или 5 деталей В. На втором комбинате работает 100 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А и 15 деталей В.

Обе эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 2 детали А и 1 деталь В.

При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях сможет собрать комбинат за смену?

Ответ:
1980 изделий.

14.
Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 855 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 3000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Ответ:
63 000 рублей.

15
. На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 60 человек, и один рабочий изготавливает за смену 10 детали А или 15 деталей В. На втором комбинате работает 260 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 деталей А и 10 деталей В.

Обе эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 2 детали А и 1 деталь В.

При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях сможет собрать комбинат за смену?

Ответ:
2250 изделий.

Литература:

    ЕГЭ 2016. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / И.В. Ященко, М.А. Волчкевич, И.Р. Высоцкий, Р.К. Гордин, П.В.Семенов, и т.д.; под ред. И.В. Ященко – М.: Издательство «Экзамен», 2016. – 247, с.

    ЕГЭ-2016. Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень под ред. И.В. Ященко. – Москва: АСТ: Астрель, 2016. – 135, с.